近年來，全息原理與拓?fù)淞孔訄稣摰南嚓P(guān)研究持續(xù)深入，特別是在理解量子場論與量子引力之間的聯(lián)系方面取得了諸多突破性進(jìn)展。全息原理的核心在于將高維度的引力理論與低維度的量子場論聯(lián)系起來，而拓?fù)淞孔訄稣?TQFT)在這一過程中發(fā)揮著關(guān)鍵性的作用。拓?fù)淞孔訄稣摏Q定了低維理論的對稱性，這種對稱性既包含常見的群對稱，也包含群對稱的推廣——即范疇對稱性的廣義(不可逆)對稱性，其結(jié)構(gòu)能夠與高維的拓?fù)淞孔訄稣撀?lián)系起來。這就是近年來興起并獲得廣泛關(guān)注的“拓?fù)淙⒃怼薄?br />  

　　11月5日，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心孔令欣教授與合作者在《物理評論X》(Physical Review X)第14卷第4期發(fā)表了題為“從D+1維拓?fù)淞孔訄稣摰紻維共形場論：全息張量網(wǎng)絡(luò)與(二維)共形場論精確離散化”(CFTD from TQFTD+1 via Holographic Tensor Network, and PrecisionDiscretisationof CFT2)的論文，在量子場論和全息原理交叉領(lǐng)域取得重要進(jìn)展。研究團(tuán)隊創(chuàng)新地提出一種利用拓?fù)淞孔訄稣撍阉髂酥翗?gòu)建共形場論(CFT)的精確離散化版本的方法，為深入理解CFT與TQFT之間的聯(lián)系以及更為廣泛的量子引力問題開辟了嶄新的視角。
 

　　重整化群(RG)在理論物理中起著關(guān)鍵作用，它描述了系統(tǒng)在不同尺度下相似的物理行為。研究團(tuán)隊結(jié)合了廣義不可逆對稱性與重整化群這兩個核心概念，通過改變拓?fù)鋱稣摰钠史纸Y(jié)構(gòu)，構(gòu)造了保護(hù)(廣義)對稱性的重整化流，深入探索如何從D+1維TQFT中獲取D維CFT的路徑積分表示。其中，團(tuán)隊聚焦于由3維Turaev-Viro拓?fù)鋱稣摌?gòu)造的重整化群不動點，將其轉(zhuǎn)化成拓?fù)淞孔訄稣摰倪吔鐥l件，進(jìn)而重構(gòu)出2維有理共形場論的精確路徑積分。此項工作首次實現(xiàn)將離散拓?fù)鋱稣摰臓顟B(tài)和連續(xù)場論的路徑積分聯(lián)系起來，并給出了連續(xù)場論的離散化描述。
 

　　圖1.Turaev-Viro拓?fù)鋱稣摌?gòu)造的顯式離散重整化群算符，從左至右展示了重整化過程
 

　　研究團(tuán)隊首先基于3維Turaev-ViroTQFT相關(guān)的Frobenius代數(shù)，成功構(gòu)建出RG算符的拓?fù)涮卣鲬B(tài)，通過這些特征態(tài)復(fù)現(xiàn)了廣義對稱低維TQFT的配分函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，團(tuán)隊進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)非特征解在RG算符的作用下，可以流到特征解。利用CFT處于拓?fù)涮卣鲬B(tài)之間相變點的這一特性，開發(fā)出數(shù)值算法，用以尋找與CFT對應(yīng)的RG算符特征態(tài)，重構(gòu)出一系列已知2維格點模型的相變點，并發(fā)現(xiàn)可能存在的新型2維相變點。通過對這些非平凡不動點的深入研究，團(tuán)隊推測出能夠復(fù)現(xiàn)2維有理共形場論(RCFT)路徑積分的無限維特征解，切實實現(xiàn)了離散Turaev-Viro狀態(tài)與連續(xù)路徑積分之間的精確對應(yīng)。該套方法被推廣到3維CFT和4維拓?fù)銻G算符，并在3維Ising模型中展示。最終，研究團(tuán)隊證明所構(gòu)造的RG算符形成了一個精確的全息張量網(wǎng)絡(luò)，可將其理解為對(歐幾里得)AdSD+1空間的離散化，且能精確描述CFT。數(shù)值證據(jù)表明，當(dāng)D=2時的體-邊傳播子與AdS3/CFT2中的傳播子一致。
 

圖2.全息張量網(wǎng)絡(luò)示意圖
 

　　這一系列成果不僅為理解CFT和TQFT之間的關(guān)系構(gòu)建起統(tǒng)一而具體的框架體系，還在全息原理、量子引力與場論離散化之間構(gòu)筑起全新的橋梁。研究揭示了通過拓?fù)鋱稣摵腿埩烤W(wǎng)絡(luò)途徑構(gòu)造CFT的可能性，為復(fù)雜量子系統(tǒng)的研究提供了重要的新工具。值得一提的是，研究著重強(qiáng)調(diào)了RG不動點的關(guān)鍵作用，通過這些不動點，不同尺度下的物理行為得以實現(xiàn)統(tǒng)一描述，為探索CFT的結(jié)構(gòu)提供了豐富多樣的數(shù)學(xué)工具。未來，孔令欣團(tuán)隊將持續(xù)深入探尋其與AdS/CFT對應(yīng)的精確聯(lián)系，進(jìn)一步推動量子物理理論研究的前沿進(jìn)展。
 

　　清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心教授孔令欣(Ling-Yan Hung)為論文獨立通訊作者?？琢钚?022年加入清華大學(xué)，主要研究領(lǐng)域為全息理論、量子引力，以及拓?fù)鋱稣摗⑼負(fù)湮飸B(tài)的全息原理。華南理工大學(xué)副教授陳霖及復(fù)旦大學(xué)博士生季愷昕為共同第一作者，共同作者還包括山東大學(xué)本科生張皓琛，美國康奈爾大學(xué)博士生王若水，復(fù)旦大學(xué)博士生曾祥東、沈策。