近日，北京理工大學姚裕貴教授、李鋒教授和周迪研究員團隊在三維空間中首次實現了極化的拓撲力學絕緣體，其上邊界具有拓撲剛性，而下邊界具有拓撲柔性。即使把材料從中間切開、一劈為二，那么新產生的兩片材料的上下邊界，將依然展示出這種“上硬、下軟”的強非對稱剛度，該體系被稱之為極化“靜力學拓撲絕緣體”。該成果發(fā)表于《物理評論快報》(Physical Review Letters)上。
 

　　自二十世紀八十年代開始，拓撲絕緣體成為了凝聚態(tài)物理的重點研究方向之一。2014年，美國科學院院士Charles Kane 和Tom Lubensky成功將拓撲絕緣體的概念推廣到準靜態(tài)力學系統中，建立了以等靜定結構為主要研究對象的靜力學拓撲絕緣體。由拓撲極化矢量表征的靜力學拓撲絕緣體在其表面上存在著被稱為力學軟模(mechanical floppy mode)和自應力 (state of self-stress)的邊緣模式，展現出零頻率(無損耗)、抗干擾、抗缺陷等優(yōu)異性質。此外更加有趣的是，在靜力學拓撲絕緣體中，力學軟模可以被完全局域在某個開放表面，而反方向開邊界則完全沒有力學軟模，使材料表面展現出高度不對稱彈性：一側開放邊界異常柔軟，另一側極其堅硬，且平行開放邊界間的軟硬剛度差異可超過千倍。這一等靜定結構所展現的“上硬、下軟”力學狀態(tài)也因此被稱為“拓撲完全極化”狀態(tài)。與其他同樣由極化矢量所描述的拓撲絕緣體一樣，完全極化的靜力學材料具有拓撲穩(wěn)定性：即便把材料一分為二，新產生的兩個力學結構仍會表現出上硬下軟的力學極化行為。
 

　　一維和二維的等靜定結構很容易通過調整幾何參數來實現完全極化的拓撲力學，然而在三維等靜定結構中，廣泛存在的外爾線(Weyl lines)會破壞力學結構的拓撲極化性質。由于外爾線本身也具有拓撲穩(wěn)定性而極難去除，所以在理論上尋找靜力學拓撲絕緣體是非常困難的。
 

　　北京理工大學團隊提出了力學轉移矩陣方法(mechanical transfer matrix)，通過分別研究各個力學軟模在空間上的傳遞行為，建立了各個力學軟模與結構的幾何參數之間直接的聯系，使得通過調整參數令所有力學軟模局域于結構某一特定表面成為可能。基于這一理論創(chuàng)新，該團隊設計并3D打印了一個拓撲完全極化的廣義焦綠石晶格(generalized pyrochlore lattice)。該團隊創(chuàng)新性地采用了可自由轉動的球形鉸鏈(如圖1c所示) 來消除晶格連接處的彎曲剛度，以此保證3D打印出的廣義焦綠石晶格是一個理想的等靜定結構。廣義焦綠石晶格的原胞由兩個3D打印的四面體組成，四面體的每個頂點都有一個球形鉸鏈。在圖1(d)中，白色四面體的A、B、C、D頂點與綠色四面體的A′、B′、C′、D′頂點相連，使得相鄰四面體之間可以自由旋轉。
 

　　圖1 三維完全極化靜力學拓撲絕緣體的設計原理。(a)-(b)正規(guī)焦綠石晶格和廣義焦綠石晶格的原胞。 (c) 白色和綠色剛體分別表示組成廣義焦綠石晶格原胞的底部四面體和頂部四面體。 (d) 組裝后的三維完全極化靜力學拓撲絕緣體。
 

　　該團隊利用整體剪切變形模式，能夠在不重新組裝晶格模型的情況下改變晶格的幾何參數，進而使得3D打印的廣義焦綠石晶格可以簡便地在完全拓撲極化相和外爾相之間相互轉變。圖2 (a,c,e)展示了廣義焦綠石晶格在一個整體剪切模式中達到的三種不同拓撲相，分別是完全拓撲極化相(a)、具有兩條外爾線的外爾相(c)和具有四條外爾線的外爾相(e)。如圖2(b)所示，完全拓撲極化相在整個布里淵區(qū)具有相同的拓撲極化矢量，與此相對的，外爾相的拓撲極化矢量則依賴于具體的布里淵區(qū)中波矢的選擇。
 

　　圖2 由整體剪切模式得到的三種廣義焦綠石晶格構型中的外爾線以及相應的拓撲極化矢量分布。
 

　　該團隊對廣義焦綠石晶格進行了關于表面力學的數值仿真。圖3(a)表明晶格上下表面的剛度之比在晶格從完全拓撲極化相轉變?yōu)橥鉅栂嗟倪^程中快速降低。在圖3(b)中，θ=0°的完全拓撲極化相在點外力的作用下展現出強烈不對稱的表面力學響應。圖3(c)則展示了完全拓撲極化的力學軟模與外爾相中的外爾軟模在空間分布上的明顯差別，前者局域于晶格的某一側邊界，后者則貫穿了整個晶格。
 

　　圖3 在水平方向周期邊界和垂直方向開放邊界條件下，關于廣義焦綠石晶格的表面力學數值模擬。(a) 在一個由5×5×8原胞組成的晶格中，隨著蓋斯特整體剪切模式轉角θ的變化，頂部和底部開放表面的局部剛度。不同的背景顏色表示不同的拓撲相，圖a中的數字0、2和4分別表示拓撲完全極化、2條外爾線的外爾相和4條外爾線的外爾相。
 

　　實驗上，該團隊對3D打印的廣義焦綠石晶格進行了力-位移測量，圖4(c, d)分別展示了θ="0°的完全拓撲極化相和θ=45°的外爾相的力-位移曲線。有別于外爾相上下表面近乎相同的力-位移曲線，完全拓撲極化的晶格，其上下表面的力-位移曲線展現出了顯著的差異，表明力學軟模只局域于晶格底部，晶格上表面則因此具有拓撲保護的剛度。
 

　　該團隊據此設計了一個三維的“免充氣拓撲輪胎”，如圖4(f,g)所示，廣義焦綠石晶格被嵌入一個圓柱體中，表現為一個多空的免充氣輪胎，并且能夠有效地吸收來自崎嶇地形的沖擊。另外，完全拓撲極化相和外爾相這兩種在剛度表現上具有強烈對比的拓撲相，可以通過整體剪切模式進行簡便地切換。基于這一性質可以設計出在不同場景中表現出不同的剛度性質的材料，例如圖4(e)中所示的無人機起落架，著落過程中材料可以切換為剛度較低的外爾相，有效地吸收沖擊；在飛行過程中則可以切換為完全拓撲極化相，提升無人機外部的剛度來增加穩(wěn)定性。
 

　　圖4 3D打印的廣義焦綠石晶格的實驗測量。(a)-(b)分別為拓撲完全極化相和外爾相的力-位移曲線的測量結果。(c) 廣義焦綠石晶格構成的多孔拓撲輪胎。(d) 數值分析在崎嶇地形上滾動時拓撲輪胎的力學響應。(e) 無人機可重構的彈性拓撲起落架。
 

　　本研究在理論上和實驗上證明了三維靜力學拓撲絕緣體的完全極化相，全部局域于某一邊界的力學軟模表明拓撲完全極化相沒有力學外爾線。這一力學成就類似于電子系統中三維拓撲絕緣體的發(fā)現。三維的完全拓撲極化相為二維晶格中不可能實現的物理現象鋪平了道路，例如高階拓撲靜力學軟模、拓撲力學隱身和全空間維度的靜力學非互易性。
 

　　北京理工大學博士生湯正和馬方垣是論文的共同第一作者，北京理工大學李鋒教授和周迪研究員為論文通訊作者。